矩阵的运算和初等变换

基本上参照吉林大学的教材，可能会适当补充一些比较难的内容。

1. 矩阵与向量

• 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都为 $n$ 行 $m$ 列的矩阵，则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 称为同型矩阵；
• 用 $e_i$ 表示基本列向量，$f_i$ 表示基本行向量；
• 矩阵的行和列互换，称为转置矩阵，记作 $\mathbf{A}^\top$，当 $\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top$ 时，$\mathbf{A}$ 是对称矩阵，若 $\mathbf{A}^\top=-\mathbf{A}$，则 $\mathbf{A}$ 是反称矩阵；
• 矩阵的分块，我对它的理解是：矩阵的元素是矩阵；如果分块后其主对角线上的矩阵是方阵（阶数可以不同），其余子块均为零矩阵，那么它是分块对角矩阵；
• 对角矩阵：只有主对角线有值的方阵，记为 $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\{a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\}$，全相等时称为标量矩阵；

1.1 矩阵的初等变换

• 三种初等变换
  • 倍法变换：给某一行或列（接下来只写行）乘上一个非零数，$\mathbf{A}\xrightarrow{r_i\times k}\mathbf{B}$；
  • 消法变换：用一个数乘上某一行后再加到另一行上，$\mathbf{A}\xrightarrow{r_i\times k+r_j}\mathbf{B}$；
  • 换法变换：交换两行，$\mathbf{A}\xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j}\mathbf{B}$；
  • 对单位矩阵实施一次初等变换得到初等矩阵。
• 等价关系：
  • 经过有限次初等变换后相等，$\mathbf{A}\cong \mathbf{B}$。

任意一个矩阵都可以经过若干次初等变换变为标准形矩阵，是一个 $2\times 2$ 的分块矩阵，左上角为单位矩阵，其余三个子块为零矩阵。单位矩阵的阶就是原矩阵的秩。

若只允许使用行初等变换，那么可以变成一个行阶梯形矩阵，即左下角有一个全 $0$ 阶梯（而且每个台阶高为 $1$）。如果行首非零元素为 $1$，且这个 $1$ 所在的列的其余元素为 $0$，那么它是行最简形矩阵。

1.2 杂题选解

2. 方阵的行列式