电磁学基础

1. 静电场

1.1 电荷

库伦定律：$\vec F_{12}=k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}{\hat r_{12}}$。常把 $k$ 写成 $k=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}$，$\epsilon_0$ 为真空介电常数。

适用条件：

1. 真空。空气可以近似为真空。
2. 静止点电荷：电荷相对于观察者静止，且可以视作点电荷。
3. 距离不能太小：当距离缩小到原子核尺度时，需要从量子力学的角度去分析。

对于其它无限大均匀介质，可以使用绝对介电常数 $\epsilon=\epsilon_r\epsilon_0$，也就是说，力会变为真空中的 $\frac 1{\epsilon_r}$ 倍。因为在电场作用下，会产生极化屏蔽效应：分子中的电荷会形成极化电荷，产生一个与外电场方向相反的附加电场，使得点电荷之间的作用力减弱。

介质无限大的目的是消除边界效应，这里不作讨论。

在本节中不讨论非无限大、非均匀介质的情况。

1.2 电场 电势

电场强度 $\vec E=\dfrac {\vec F} {q_0}$ 是通过将带电量极小的点电荷 $q_0$ 放入电场中来定义的。由库伦定律，电荷 $Q$ 产生的电场 $\vec E=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}\hat r$。

对于连续带电体来说，有 $\d\vec E=\dfrac 1 {4\pi\epsilon_0}\dfrac{\d q}{r^2} \hat r$。

在开始接下来的讨论之前，我们介绍一下电势。

电势是一个标量，其建立在一个基础上：静电力是保守力，做功与路径无关。

电势能 $W$：实验电荷 $q_0$ 把电荷从 $a$ 点移动到 $b$ 点，$\displaystyle W_a-W_b=q_0\int_{a}^b \vec E \d \vec l$。

电势 $V$：只反映电场自身性质，$V_a=\dfrac {W_a}{q_0}$。

电压（电势差）：$\displaystyle V_{ab}=\int_{a}^b \vec E \d \vec l$。

如你所见，电势只有相对差值有意义。通常来讲零势点选择无穷远处，这样电势定义为 $V_{P}=\displaystyle\int_{P}^{\infty} \vec E \d \vec l$。工程中通常取大地为零势点。

点电荷的电势：

$$\begin{aligned} V(r)&=\int_{r}^{\infty}\frac{kQ}{l^2}\d l \\ &=\frac{kQ}{r} \end{aligned}$$

而众所周知，电场方向是电势下降的最快方向，因此 $\vec E=-\nabla V$。

电势相同的点连成的面叫等势面。电场线永远垂直于等势面。导体在静电平衡时，整个导体是等势体，导体表面是等势面。

1.2.1 电偶极子

电偶极子由一对等量（$q$）异号点电荷组成，对外不显净电荷，但能产生电场并受电场作用。

电偶极矩 $\vec p=q\cdot \vec l$，其中 $\vec l$的方向由负电荷指向正电荷。

首先是电场分布。当 $r\gg l$ 时，

电偶极子非常常见，比如

1.2.2 电荷连续分布的带电体

使用微元法。电荷元有三种表达方式：

• 体分布：$\rho=\dfrac{\d q}{\d V}$，
• 面分布：$\sigma=\dfrac{\d q}{\d S}$，

1.3 电介质 电位移矢量

1.4 高斯定理

1.5 环路定理

2. 稳恒磁场

3. 电磁感应