经典力学

使用 $\hat i$ 来描述单位矢量，$\vec i$来描述矢量。

球坐标系以原点为参考点，球坐标 $P(r,\theta,\phi)$ 的极角（polar angle）$\theta$ 代表 $OP$ 与 $z$ 轴正半轴的夹角（$0\le \theta \le \pi）$，方位角 $\phi$ 为 $OP$ 在 $xy$ 平面上的投影与正 $x$ 轴的夹角（$0\le \phi<2\pi$）。

1. 质点力学

为描述物体的运动，必须选择另一个物体作为参考体，在参考体上固连一个由不共面的三条相交直线组成的标架，以代表参考体，称为参考系。比如描述汽车的运动，在它所在的位置放置经线、纬线和天顶（头顶正上方的天球（以地心为球心的半径无限大的球面）点），称为地球参考系。一般工程技术问题中采用地球参考系。

参考系和坐标系是不同的概念，比如地球参考系中研究物体在斜面上的运动，我们可能会在斜面上建立新的坐标系。

1.1 质点运动的描述

1.1.1 矢量描述法

研究质点 $P$ 相对某参考系的运动，在参考系中选择一个固定点 $O$，从 $O$ 引向 $P$ 点的矢量 $\bm r=\bm r(t)$，称为 $P$ 点相对 $O$ 点位置矢量，也称位矢和矢径。

$\bm r(t)$ 的末端在空间划出的曲线称为矢端曲线，

1.1.2 直角坐标描述法

1.1.3 自然坐标描述法

1.1.4 曲线坐标描述法

2. 振动与波动

2.1 简谐振动

质点做简谐振动的条件是它受到的回复力始终和位移成正比，并且方向相反，即 $F=-kx$。

由于 $F=ma$，得到常微分方程 $\displaystyle m\frac{\d ^2 x}{\d t ^2} +kx=0$，令固有角频率 $\displaystyle \omega =\sqrt{\frac k m}$，解得 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$。比如弹簧振子，小角度单摆。

注意根据某个时刻质点的位移和速度可以求振幅，因为不难导出 $A=\sqrt{x^2+\frac{v^2}{\omega^2}}$。

周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，频率 $\nu=\frac 1 T$，角频率 $\omega = 2\pi\nu$。

通常采用旋转矢量法去求相位，即将逆时针匀速圆周运动在 $x$ 轴上的投影视作位置 $x$。$t=0$ 是矢量的旋转角就是初相位 $\varphi$。

也可以方便地处理同频率简谐运动的合成，由余弦定理，$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos(\varphi_2-\varphi_1)}$，$\tan \varphi$ 也是容易的。

简谐振动的动能 $E_k=\frac 1 2 mv^2$，势能 $E_p=\frac 1 2 k x^2$，总能量 $E=\frac 1 2 k A^2$。

2.2 机械波

波源 + 弹性介质产生波，横波的质点振动垂直于波速，纵波的质点振动平行于波速。流体（液体和气体）只能传播纵波。

波速 $u=\lambda / T = \lambda \nu$，由介质决定。

由某一个质点的振动方程即可推出其它质点的振动方程（平移即可）。比如波沿 $+x$ 方向传播，$y(x,t) = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi\right] = A\cos\left(2\pi\nu t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \varphi\right)$。这里也可以注意到一个事情，$t,x$ 异号时是右行波，同号是左行波。

由于经过一个波长相位就落后 $2\pi$，因此 $\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x$。

2.2.1 波的干涉

干涉的条件：

1. 频率相同。
2. 振动方向相同，比如都是上下振（水面波等）。但实际上只要振动方向不垂直，就可以分解。
3. 相位差恒定。

对于若干个波在 $P$ 点的合振幅，将每列波在该点的振动方程写出来，求代数和即可。

若两列波初相相同，那么在 $k\lambda$ 处加强，在 $\left(k+\frac 1 2\right)\lambda$ 处减弱。初相不同现推。

驻波是一种特殊的波动干涉现象，振幅相同，传播方向相反的相干波 $y_1=A\cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x),y_2=A\cos (\omega t+\frac{2\pi}{\lambda} x)$，所以 $y=2A\cos\omega t \cos \frac{2\pi}{\lambda}x$。

• 波节：始终静止，$x=(2k+1)\frac \lambda 4$。
• 波腹：振幅最大处，$x=k\frac \lambda 2$。
• 相邻波节和相邻波幅的距离均为 $\frac \lambda 2$。

波从波疏介质（波速快）射向波密介质（波速慢），在界面反射时，有半波损失（即波形差了半个波长）。

固定端有半波损失，自由端没有。