高等数学：微积分 A2

0. 空间解析几何

学习空间解析集合可能有助于更好地理解多元函数微积分学（？）

空间直角坐标系有八个卦限，先是 $z>0$ 按照平面直角坐标系顺序的四个，然后是 $z<0$ 。

点积 / 内积： $\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta$ 。

叉积 / 外积： $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \bm i & \bm j & \bm k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1 z_2 - z_1 y_2,\; z_1 x_2 - x_1 z_2,\; x_1 y_2 - y_1 x_2)$ 。

外积的模长等于 $|\vec a| |\vec b|\sin \theta$ （也就是围成的平行四边形的面积）。方向垂直于 $\vec a,\vec b$ 张成的平面，具体方向由右手定则确定：食指旋转小于 $180^\circ$ ，拇指指向的方向即为 $\vec c$ 的方向。

张量积 / 并积 / 直积： $\vec u\otimes \vec v=\vec u\vec v^\top$ 。

方向余弦是指与坐标轴单位向量的夹角余弦。

向量的混合积 $[\bm a\bm b\bm c]=(\bm a\times \bm b)\cdot \bm c$ ，也就是 $\begin{vmatrix} x_3 & y_3 & z_3 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$ ，其绝对值代表平行六面体的面积。

0.1 平面方程

一般用点法式方程描述一个平面。平面的法向量通过叉积求出。

平面的夹角通过法向量求出。

0.2 直线方程

0.3 曲面与曲线

已知曲线的切向量 $\mathbf T = (A,B,C)$ ，则切线方程：

$\displaystyle \frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$

法平面方程：

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

已知曲面的法向量 $\mathbf N = (A,B,C)$ ，则法线方程：

$\displaystyle \frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$

切平面方程：

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

1. 多元函数微分学

在多元函数中，邻域泛指圆邻域和方邻域。任意一个点 $A\in \mathbb R^2$ 都可以被归类为 $E\sub \mathbb R^2$ 的内点、外点和界点。界点的集合称为边界，记作 $\partial E$ 。

如果 $E$ 中的每一个点都是内点，则 $E$ 为开集。若 $E$ 为连通的开集，那么 $E$ 称为 $\mathbb R^2$ 中的开区域，简称区域， $\overline E=E\cup \partial E$ 称作闭区域。

聚点：点 $A$ 的任意 $\mathring U(A)$ 内都含有 $E$ 中的点，则称 $A$ 为聚点，等价于任何 $U(A)$ 包含 $E$ 的无穷多个点。

孤立点： $A\in E$ ，但是 $A$ 不是聚点。比如 $E=\{(1,1)\}$ ，就只含有一个孤立点。

显然，孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点又不是孤立点一定是外点。

如果 $E$ 的所有聚点都属于 $E$ ，那么 $E$ 是闭集。可以证明， $E\sub \mathbb R^2$ 是开集，则 $E^c$ 是闭集，反之同理。

重极限： $f(P)$ 是定义在 $D$ 上的多元函数，设 $P_0$ 是 $D$ 的一个聚点， $\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,\ie P\in D\cap \mathring U(P_0,\delta),|f(P)-A|<\epsilon$ ，则 $\lim_{P\to P_0} f(P)=A$ 。

若重极限和所有累次极限都存在时，它们必然相等。

多元函数连续是多元函数关于单变量连续的充分不必要条件。

1.1 偏导数

偏导数的符号 $f_{x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 是一个整体，不能当作“微分算子”之类的东西进行约分之类的操作。

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 代表先对 $x$ 再对 $y$ 求偏导。若所有混合偏导数连续时，则调换偏导顺序不会对结果产生影响。

用 $C^i$ 表示 $i$ 阶偏导数存在且连续的函数。

偏导数可以在定义时钦定哪些变量被视为常量，即“冻结点”：

$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,\,z} \quad\text{或}\quad \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{y,\,z}$

括号外的下标 $y,z$ 意思是在这次求偏导过程中，变量 $y$ 和 $z$ 被“冻住”（当作常数）。最后再配上取值点：

$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0,z_0)}$

在热力学、多变量优化等场景中，同一组物理量可能有多套独立变量。例如内能 $U$ 可以写成 $U(S,V)$ ，也可以写成 $U(T,V)$ 。
如果你只写 $\frac{\partial U}{\partial V}$ ，没人知道你是把 $S$ 冻住，还是把 $T$ 冻住——两种偏导结果完全不同。

“冻结点”下标就是用来显式声明这一次求导时，谁被当作常数：

$\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S \neq \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T$

1.2 全微分

若全增量可以表示为 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ ，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，那么函数在 $(x_0,y_0)$ 可微，且 $\d z=A\Delta x+B\Delta y$ 。

二元函数在可微的必要不充分条件是函数连续且两个偏导存在，若可微则 $\displaystyle \d z=\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \d x+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\d y$ 。

在一点偏导数连续是可微的充分不必要条件。也就是说，偏导数连续、可微、偏导数存在由强到弱，可微也可以推出连续，但连续和偏导数存在没关系。

$\d^n z=\sum_{k=0}^n\binom n k \frac{\partial ^n z}{\partial^k x\partial ^{n-k}y}\d^k x \d^{n-k} y$

求 $z=e^{x/y}$ 的二阶全微分。

初学者计算时要小心！答案是 $\displaystyle \d^2 z = e^{x/y}\left( \frac{1}{y^2}\d x^2 - \frac{2(x+y)}{y^3}\d x\d y + \frac{x^2+2xy}{y^4}\d y^2 \right)$ 。

1.3 复合函数微分

设函数 $z=f(u,v)$ ，其中 $u=\varphi(t),y=\psi(t)$ ，且 $u,v$ 在 $t$ 处可导， $z$ 在 $(u,v)$ 处可微，则： $\displaystyle \frac{\d z}{\d t} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac {\d u}{\d t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac {\d v}{\d t}$ 。其实这就是链式法则，换成别的函数也一样。

设 $z=f(u,v),f\in C^2,u=x^2+y,v=2x-y$ ，求 $\d ^2 z$ ，用 $f$ 的偏导数表示。

主要的问题是遇到 $\displaystyle\frac{\partial f_u}{\partial x}$ 别傻了，因为 $f_u$ 是关于 $u,v$ 的函数，所以还是复合函数求偏导。

答案是：

$\begin{aligned}\d ^2 z = & \bigl( 2 f_u + 4x^2 f_{uu} + 8x f_{uv} + 4 f_{vv} \bigr) \d x^2 \\& + 2\bigl( 2x f_{uu} + (2-2x) f_{uv} - 2 f_{vv} \bigr) \d x\d y \\& + \bigl( f_{uu} - 2 f_{uv} + f_{vv} \bigr) \d y^2.\end{aligned}$

对于一阶全微分，具有形式不变性的特点：即 $z=f(u,v)$ ，不论 $u,v$ 是自变量还是函数，永远都有 $\displaystyle \d z = \frac{\partial f}{\partial u}\d u + \frac{\partial f}{\partial v}\d v$ 。

$z=e^u\sin v,u=xy,v=x+y$ ，求 $\d z$ 。

可以得到 $e^u\sin v(y\d x+x\d y)+e^u\cos v(\d x +\d y)$ ，这里就不展开了。

在求复合函数的微分时可能会混淆当前时什么函数对什么的偏导，最好用不同的符号区别开。

1.4 隐函数微分法

$(x_0,y_0)$ 处隐函数存在的条件在邻域内满足 $F\in C^1,F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\ne 0$ 。

一个误区是以为隐函数不存在的原因是垂直于 $x$ 轴，但实际上还可以是因为交叉 $y^2=x^2(x+1)$ ，产生尖点奇点（ $y^2=x^3$ ，如果以后进一步学习我会再来研究这个东西）等。

1.4.1 由方程式确定

比如 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$ 。

对 $F(x,y(x))=0$ 两边同时对 $x$ 求导，得到 $y'=-\dfrac{F_x}{F_y}$ 。

对于多元函数，比如 $F(x,y,z)=0$ ，等式两边求全微分得 $F_x \d x +F_y\d y+F_z\d z=0$ 。因此 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_y}$ 。

设方程 $x^2+y^2+z^2+e^{x+z}-2=0$ 在 $(0,1,0)$ 确定函数 $z=z(x,y)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\Big|_{(0,1)}$ 。

$z_x(0,1,0)=-1,z_{xx}(0,1,0)=-4$ 。

设 $F(x+z,y+z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$ ， $F\in C^2$ ，求 $z$ 关于 $x$ 的二阶偏导数。

首先这是个复合函数，令 $u=x+z,v=y+z,F(u,v)=0$ ，等式两边对 $x$ 求偏导：

$z_x(F_u+F_v)+F_u=0$

得到 $z_x=-\dfrac{F_u}{F_u+F_v}$ 。

然后我们再对上面那个等式两边求关于 $x$ 的偏导，你会得到一坨式子，化简后可以得到：

$z_{xx}=\frac{2F_uF_vF_{uv}-F_u^2F_{vv}-F_v^2F_{uu}}{(F_u+F_v)^3}$

1.4.2 雅可比行列式

设一组 $n$ 个 $n$ 元函数：

$\begin{cases} u_1 = f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ u_2 = f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ \quad \vdots \\ u_n = f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \end{cases}$

我们有一组函数对其自变量的偏导行列式，即雅可比行列式：

$\begin{aligned}\det J =\frac{\partial(f)}{\partial(x)} &= \frac{\partial(f_1, f_2, \dots, f_n)}{\partial(x_1, x_2, \dots, x_n)} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{vmatrix} \end{aligned}$

1.4.3 由方程组确定

比如 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 确定 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ ，那么隐函数存在的条件是 $F,G\in C^1$ ，然后类比方程，我们需要其针对因变量的导数不为零，即雅可比行列式不为零：

$\begin{vmatrix} F_u &\ F_v \\ G_u &\ G_v \end{vmatrix} \ne 0$

怎么求导呢？比如求 $u_x,v_x$ ，等式两边同时对 $x$ 求导：

$\begin{cases} F_x \cdot 1 + F_u \cdot u_x + F_v \cdot v_x = 0, \\ G_x \cdot 1 + G_u \cdot u_x + G_v \cdot v_x = 0 \end{cases}$

使用线性代数的手段解线性方程组即可，但对于微积分来说更可能是直接消元。

设函数 $u = u(x,y), \, v = v(x,y)$ 由方程组

$\begin{cases}F(u,v) = x + y, \\G(u,v) = xy\end{cases}$

确定，其中 $F, G$ 具有二阶连续偏导数（ $F,G \in C^2$ ），且

$\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} \neq 0.$

求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x},\; \frac{\partial v}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ ，用 $F,G$ 的偏导数及 $x,y$ 表示。

待补充。

1.4.4 雅可比行列式的性质

待补充。

1.5 方向导数和梯度

$\bm e_l=(\cos \alpha,\cos\beta)$ 方向的方向导数定义为 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$ ，当函数在 $(x_0,y_0)$ 可微时， $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$ 。

二元函数的梯度定义为 $\operatorname{grad} f=\nabla f=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$ 。

因此不难发现， $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=\nabla f\cdot \bm e_l=|\nabla f|\cos \theta$ ，因此方向导数的最大值为梯度方向。

1.6 几何应用

分别是曲线和曲面。

如果用参数方程给出曲线，那么切向量就是导向量。否则，是两平面梯度的叉积。

曲面 $z=f(x,y)$ 的法向量易知是 $(f_x,f_y,-1)$ ，如果是隐函数，那么：

$\text{法向量} \parallel \left( -\frac{F_x}{F_z},\; -\frac{F_y}{F_z},\; -1 \right) \parallel (F_x, F_y, F_z) = \nabla F$

因此直接求梯度即可。

设曲面

$S: z = x^2 + y^2$

平面

$\Pi: x + y + z = 0$

曲线 $C$ 是 $S$ 与 $\Pi$ 的交线。考虑原点 $O(0,0,0)$ 。

求曲面 $S$ 在点 $O$ 处的切平面和法线。
求曲线 $C$ 在点 $O$ 处的切线和法平面。
验证 $C$ 在 $O$ 的切线完全落在 $S$ 在 $O$ 的切平面上。

$S$ 的法向量 $\nabla F = \mathbf N =(2x,2y,-1)$ ，在 $(0,0,0)$ 处 $\mathbf N_S = (0,0,-1)$ 。故法线 $x=0,y=0$ ，切平面 $z=0$ 。

$\nabla G = (1,1,1)$ 。

$C$ 的切向量 $\mathbf T=\nabla F \times \nabla G=(1,-1,0)$ 。故切线 $x+y=0,z=0$ ，法平面 $x=y$ 。

第三问显然。

1.7 Taylor 公式

$f(x,y) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \, \mathrm{d}^k f\big|_{(x_0,y_0)}^{\mathrm{d}x = \Delta x,\;\mathrm{d}y = \Delta y} + R_{n+1}$

其中 $\Delta x = x-x_0$ , $\Delta y = y-y_0$ ，
全微分算子 $\mathrm{d}^k f = \left( \mathrm{d}x\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathrm{d}y\,\frac{\partial}{\partial y} \right)^k f$ 。

Lagrange 余项：

$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\, \mathrm{d}^{n+1} f\big|_{(\xi,\eta)}^{\mathrm{d}x = \Delta x,\;\mathrm{d}y = \Delta y}$

其中 $(\xi,\eta) = (x_0 + \theta\Delta x,\; y_0 + \theta\Delta y)$ ， $\theta \in (0,1)$ 。

Peano 余项：

$R_{n+1} = o(\rho^n), \quad \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \to 0$

$f(x,y) = \cos x \cos y$

(1) 写出 $f$ 在 $(0,0)$ 处的二阶 Taylor 多项式 $P_2(x,y)$ 。
(2) 证明：当 $|x|\le 1,\ |y|\le 1$ 时，有误差估计

$|f(x,y) - P_2(x,y)| \le \frac{1}{6} (|x|+|y|)^3$

(1) $P_2(x,y)=1-\frac{x^2+y^2}{2}$ 。
(2) 写出拉格朗日余项，直接放缩掉三角函数。

1.8 极值问题

首先是无条件极值，设 $z=f(x,y)$ 在某邻域内为 $C^2$ 函数，则偏导数全部为 $0$ 的点称为驻点。这是极值点的必要条件，可能有三种情况：

极小值
极大值
鞍点（比如前后上山，左右下山）

对于二元函数，令 $D\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ ，若 $\Delta < 0$ 则为鞍点， $f_{xx}>0,\Delta >0$ 则为极小值， $f_{xx}<0,\Delta >0$ 则为极大值。

待补充：具体原理，以及 $\Delta=0$ 的例题。

对于条件极值问题，采用拉格朗日数乘法。比如有 $g(x,y)=0$ ，求 $z=f(x,y)$ 的极值。

构造 $L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ ，令 $\nabla L = \mathbf 0$ ，结出候选点 $(x_0,y_0,\lambda_0)$ 。

令 $g_x\d x +g_y\d y=0$ ，然后求 $\d^2 f$ ，看 $\d x^2$ 的系数，为正则极小，为负则极大，为零则是鞍点。

待补充：这么操作的理由。

在椭球面 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ $(a > 0, b > 0, c > 0)$ 的第一卦限部分上求一点 $P$ ，使过点 $P$ 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 $V$ 最小。

$P(x_0,y_0,z_0)$ ，则切平面：

$\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{c^2}(z-z_0)=0$

令 $x=y=0$ ，解得 $z=\dfrac{c^2}{z_0}$ ，故 $V=\dfrac{a^2b^2c^2}{6x_0y_0z_0}$ 。

拉格朗日数乘法得到 $P\left(\cfrac{a}{\sqrt{3}},\cfrac{b}{\sqrt{3}},\cfrac{c}{\sqrt{3}}\right)$ 。

2. 重积分

4. 曲线积分

4.1 第一类曲线积分

即求标量沿曲线的积累量，形如 $\displaystyle\int_L f(x,y)\d s$ ，用黎曼和的形式去定义。比如求质量。

直接将弧微分写出来，用关于 $t$ 的参数方程表示曲线 $L$ ，然后写出 $f$ ，积分即可。

空间螺旋线 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=bt$ ，线密度 $\lambda = k$ ，求该螺旋线质量。

直接按照定义写，即可得到 $2k\pi \sqrt{a^2+b^2}$ 。

4.2 第二类曲线积分

即求变力沿着曲线的做功。