微积分 A2

1. 多元函数微分学

在多元函数中，邻域泛指圆邻域和方邻域。任意一个点 $A\in \mathbb R^2$ 都可以被归类为 $E\sub \mathbb R^2$ 的内点、外点和界点。界点的集合称为边界，记作 $\partial E$。

如果 $E$ 中的每一个点都是内点，则 $E$ 为开集。若 $E$ 为连通的开集，那么 $E$ 称为 $\mathbb R^2$ 中的开区域，简称区域，$\overline E=E\cup \partial E$ 称作闭区域。

聚点：点 $A$ 的任意 $\mathring U(A)$ 内都含有 $E$ 中的点，则称 $A$ 为聚点，等价于任何 $U(A)$ 包含 $E$ 的无穷多个点。

孤立点：$A\in E$，但是 $A$ 不是聚点。比如 $E=\{(1,1)\}$，就只含有一个孤立点。

显然，孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点又不是孤立点一定是外点。

如果 $E$ 的所有聚点都属于 $E$，那么 $E$ 是闭集。可以证明，$E\sub \mathbb R^2$ 是开集，则 $E^c$ 是闭集，反之同理。

重极限：$f(P)$ 是定义在 $D$ 上的多元函数，设 $P_0$ 是 $D$ 的一个聚点，$\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,\ie P\in D\cap \mathring U(P_0,\delta),|f(P)-A|<\epsilon$，则 $\lim_{P\to P_0} f(P)=A$。

若重极限和所有累次极限都存在时，它们必然相等。

多元函数连续是多元函数关于单变量连续的充分不必要条件。

1.1 偏导数

偏导数的符号 $f_{x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 是一个整体，不能当作“微分算子”之类的东西进行约分之类的操作。

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 代表先对 $x$ 再对 $y$ 求偏导。若所有混合偏导数连续时，则调换偏导顺序不会对结果产生影响。

1.2 全微分

若全增量可以表示为 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，那么函数在 $(x_0,y_0)$ 可微，且 $\d z=A\Delta x+B\Delta y$。

二元函数在可微的必要不充分条件是连续且两个偏导存在，若可微则 $\d z=f_x(x_0,y_0)\d x+f_y(x_0,y_0)\d y$。

在一点偏导数连续是可微的充分不必要条件。

$$\d^n z=\sum_{k=0}^n\binom n k \frac{\partial ^n z}{\partial^k x\partial ^{n-k}y}\d^k x \d^{n-k} y$$

1.4 方向导数和梯度

$\bm e_l=(\cos \alpha,\cos\beta)$ 方向的方向导数定义为 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$，当函数在 $(x_0,y_0)$ 可微时，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$。

二元函数的梯度定义为 $\operatorname{grad} f=\nabla f=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$。

因此不难发现，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}\Big |_{(x_0,y_0)}=\nabla f\cdot \bm e_l=|\nabla f|\cos \theta$，因此方向导数的最大值为梯度方向。