抽象代数

二元运算是 $G\times G\rightarrow G$ 的函数 $\star(a,b)$。类似的可以定义 $n$ 元运算。

• 交换律
• 结合律
• 幂等律：$a\star a=a$。这里称 $a$ 是关于 $\star$ 的幂等元，所有元素都是幂等元则 $\star$ 满足幂等律。
  • 只有满足结合律才存在幂运算。
• 分配律：必须同时满足左分配和右分配
• 吸收率：$a*(a+b)=a,a+(a*b)=a$，则称 $+,*$ 满足吸收率。
• 消去律

一个集合和若干运算就可以构成代数系统。

1. 群

1.1 基本公理

$(G,\star)$，满足结合律得到半群（semigroup），存在单位元（显然，只要存在那么只能有一个）且每个元素都存在逆元的到群。满足交换律得到 Abel 群，此时一般记作 $(G,+)$。不难发现单位元和逆元都是唯一的。

性质：$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$。

最小的正整数 $n$ 满足 $x^n=1$ 称为 $x$ 的阶（order），记为 $|x|$。当 $G$ 为无限群时，可能会 $|x|=\infty$。

可除条件是另一种刻画群的方式，半群 $(G,\star)$ 中左可除为方程 $ax=b$ 有解，右可除为 $ya=b$ 有解。必要性易证，解方程 $ya=a$ 可以得到 $ea=a$，固定该 $a$，那么 $\forall b\in G,ax=b$，$eb=eax=ax=b$，因此 $e$ 是左幺元，而 $ya=e$ 可以得到每个元素都有左逆。

1.2 子群

设 $G$ 是一个群，如果存在 $g\in G$，使得 $G=\langle g \rangle=\{g^n \mid n\in Z\}$，那么 $G$ 是循环群。

2. 环

3. 域