微积分 A1

1. 前置知识

邻域：$U(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta),\mathring{U}(a,\delta)=(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$。

用 $\inf(S),\sup(S)$ 来表示 $S$ 的下确界和上确界。

1.1 集合的势

对于集合 $A,B$，如果存在一个从 $A$ 到 $B$ 的一一映射，则称集合 $A$ 和 $B$ 对等，记作 $A\sim B$，称 $A$ 和 $B$ 有相同的势（基数）。

设 $\mathbb N$ 的基数是 $\aleph_0$（阿列夫零），如果一个集合 $A$ 的势是 $\aleph_0$，那么 $A$ 是可数集。

1.2 实数

若 $\forall \epsilon>0,\exist N,\ie n>N,|x_n-a|<\epsilon$，则记 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$。

夹逼定理：给定三个数列 ${x_n},{y_n},{z_n}$，若满足：

1. $\exist K,\operatorname{s.t.} n>K,y_n\le x_n\le z_n$，
2. $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$，

则 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。

Cauchy 收敛准则：数列收敛的充要条件是 $\forall \epsilon>0,\exist N,\ie n,m>N,|x_n-x_m|<\epsilon$。

两个重要极限：

1. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$；
2. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac 1 x\right)^x=e$。

复合函数的极限：若 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} u(x)=u_0,\lim_{u\to u_0}f(u)=A$，且在 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 内 $u(x)\ne u_0$，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f[u(x)]=A$。也就是说，内层函数的值一定不能是常数（但可以是无穷）。

1.1 反函数

假设函数 $y=f(x)$ 从 $D$ 映射到 $W$，那么反函数 $y=f^{-1}(x)$ 从 $W$ 映射到 $D$。因此，存在反函数的充要条件每个 $D$ 映射到的 $W$ 都不相同。对于连续函数来说，就需要单调。

1.2 初等函数

$$\begin{aligned} \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\ne \frac{1}{\tan x}\\ \cot x = \frac 1 {\tan x}\\ \sec x = \frac 1 {\cos x}\\ \csc x =\frac {1}{\sin x} \end{aligned}$$

$\arcsin$ 从 $[-1,1]$ 映射到 $[-\frac \pi 2,\frac \pi 2]$，$\arccos$ 从 $[-1,1]$ 映射到 $[0,\pi]$，$\arctan$ 从 $\R$ 映射到 $(-\frac \pi 2,\frac \pi 2)$，$\arccot$ 从 $\R$ 映射到 $(0,\pi)$。

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

因此：

$$\cosh^2 x -\sinh^2 x=1\\ \sinh 2x=2\sinh x \cosh x\\ \cosh 2x=\cosh^2 x +\sinh^2 x$$

1.3 连续

若 $\forall \epsilon >0,\exist \delta >0,\ie \forall x\in U(x_0,\delta),|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续。也就是 $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$。

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 不连续（$f(x_0)$ 无定义，$f(x_0)$ 有定义但是极限不存在，有定义且极限存在但是不等于 $f(x_0)$），但是 $x_0$ 左右极限都存在（这里约定极限为无穷则是不存在），那么这是第一类间断点，否则是第二类间断点。

若极限存在，那么是可去间断点。如果左右极限不相等，那么是跳跃间断点，左右极限之差为跃度。若是震荡的（如 $f(x)=\sin \frac 1 x$），则是震荡间断点，若左或右极限为无穷，则是无穷间断点。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，则 $f'(x)$ 只可能存在震荡间断点^[1]。

f(x)=sin(1/x)

连续函数做四则运算后在定义域范围内依然是连续函数。

若 $f(x)$ 是 $I_x$ 上单调的连续函数，那么 $f^{-1}(x)$ 是 $I_y$ 上单调性与原函数相同的连续函数。

复合函数的连续性：若 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=u_0$（也就是说 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续），且 $y=f(u)$ 在 $u_0$ 连续，那么 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(g(x)) = f(u_0)$，$f(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续。

我们通常用 $f(x)\in C[a,b]$ 表示 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)\in C^k[a,b]$ 表示其 $k$ 阶导函数在 $[a,b]$ 上连续。

一致连续：$f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，$\forall \epsilon >0,\exist \delta >0,\forall |x_1-x_2|< \delta,|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，那么 $f(x)$ 在 $I$ 一致连续。

若 $f(x)$ 在闭区间上连续，那么也一致连续。

1.4 无穷小与无穷大

若 $\lim_{x\to x_0}\frac \beta\alpha=C$，则 $\beta =O(\alpha)$，同阶无穷小；
若 $\lim_{x\to x_0}\frac \beta\alpha=0$，则 $\beta =o(\alpha)$；
若 $\lim_{x\to x_0}\frac \beta{\alpha ^k}=C(C\ne 0)$，则 $\beta =O(\alpha^k)$，$\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。

等价无穷小可以在乘除法中替换。

$x\to 0$ 时，$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\ln(1+x)\sim x,e^x-1\sim x,1-\cos x\sim \frac{x^2} 2$。

$\alpha^n \times o(\alpha^m)=o(\alpha^{n+m})$。

2. 导数与微分

与切线垂直的直线为法线。

可导需要连续，且左导数等于右导数。

2.1 求导与微分

初等函数的导数：

$$\begin{aligned} (a^x)'=a^x\ln a & & & & & & (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\\ \sin'x =\cos x & & & & & & \cos' x=-\sin x\\ \tan'x =\sec^2 x & & & & & & \cot'x =-\csc^2 x\\ \sec'x =\sec x\tan x & & & & & & \csc' x=-\csc x\cot x\\ \arcsin'x =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & & & & & & \arccos'x =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \arctan'x =\frac{1}{1+x^2} & & & & & & \arccot'x =-\frac{1}{1+x^2}\\ \sinh'x = \cosh x & & & & & & \cosh'x = \sinh x \end{aligned}$$

反函数求导法则：若函数 $x=\varphi(y)$ 单调可导，且 $\varphi'(y)\ne 0$，则反函数 $y=f(x)$ 可导，$\displaystyle f'(x)=\frac{\d y}{\d x}=\frac{1}{\frac{\d x}{\d y}}=\frac{1}{\varphi'(y)}\Bigg |_{y=f(x)} =\frac{1}{\varphi'(f(x))}$。

复合函数求导法则：$y=f(u),u=g(x)$，那么 $y=f(g(x))$ 求导为 $\displaystyle\frac{\d y}{\d x}=\frac{\d y}{\d u}\cdot \frac{\d u}{\d x}=f'(u)g'(x)$。

$\displaystyle f''(x)=\frac{\d f'(x)}{\d x}=\frac{\d \frac{\d y}{\d x}}{\d x}=\frac{\d^2 y}{\d x^2}$。

$$(x^\mu)^{(n)}=\mu^{\underline{n}} x^{\mu - n}\\ (a^x)^{(n)}=a^x \ln^n a\\ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\cdot \frac \pi 2\right)\\ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+n\cdot \frac \pi 2\right)$$

Leibniz 公式：$\displaystyle (uv)^{(n)}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}u^{(n-i)} v^{(i)}$。

隐函数求导：等式两边求导，等式两边取对数。

若给定参数方程：

$$\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t), \end{cases}$$

如果可以确定 $y$ 是 $x$ 的函数，那么 $\displaystyle\frac{\d y}{\d x}=\frac{\d y}{\d t}\frac{1}{\frac{\d x}{\d t}}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$。

也有 $\displaystyle\frac{\d^2 y}{\d x^2}=\frac{\d}{\d x}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)=\frac{\d}{\d t}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)\frac{\d t}{\d x}=\frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{\left(x'(t)\right)^3}$。

$f'(x)$ 为微商，$\d y$ 为微分。

2.2 微分中值定理

罗尔中值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，那么 $\exist \xi\in (a,b),\ie f'(\xi)=0$。如果要证明 $f'(\xi)=k$，经常构造 $F(x)=f(x)-kx$.

拉格朗日中值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，那么 $\exist \xi\in (a,b),\ie f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

柯西中值定理：$f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，那么 $\exist \xi\in (a,b),\ie \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。

中值定理辅助函数的构造是一门学问，可能不打算研究。

2.3 泰勒公式

当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数：

$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n.$

其中满足 $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0),k\in \N$，因此 $i! a_i=f^{(i)}(x_0)$。

$f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 公式：$\displaystyle f(x)=P_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$。当 $x_0=0$ 时，退化为麦克劳林公式。

拉格朗日余项：$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \xi\in [\min(x_0,x),\max(x_0,x)]$。

Peano 余项：$R_n(x)=o((x-x_0)^n), x\to x_0$。

2.4 极值、凸性、渐近线

若 $f'(x_0)=0$，则称 $x_0$ 为驻点。

若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，那么 $f'(x_0)=0$ 或不存在。

取极值第一充分条件：设连续函数 $f(x)$ 在 $\mathring U(x_0,\delta)$ 可导，且 $f'(x_0)=0$ 或 $f'(x_0)$ 不存在，则根据 $x<x_0$ 和 $x>x_0$ 的正负性来判断 $x_0$ 是否为极值点。

取极值第二充分条件：二阶导存在且不为 $0$，看二阶导正负性。

函数的凸性有两种：下凸和上凸。设 $f(x)$ 在 $I$ 上连续，$\forall x_1,x_2\in I(x_1\ne x_2),\lambda\in (0,1)$，总有 $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，那么 $f(x)$ 在 $I$ 上下凸，若大于则是上凸。判定的条件分别是二阶导为正和为负。

如果函数下凸那么 $f(x+\Delta x)>f(x)+f'(x)\Delta x$，上凸同理。

连续函数上凸和下凸区间的分界点称为曲线的拐点，拐点的二阶导为 $0$ 或者不存在。

若 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$ 或 $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$，则称 $y=A$ 为 $y=f(x)$ 的水平渐近线。
若 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$，则称 $x=x_0$ 为 $y=f(x)$ 的竖直渐近线。

由于 $d=\dfrac{|f(x)-kx-b|}{\sqrt{1+k^2}}$，我们以 $x\to +\infty$ 为例，若 $\lim\limits_{x\to +\infty}d=0$，那么 $\lim\limits_{x\to +\infty} (f(x)-kx-b)=0$，于是 $k=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)} x$，此时 $b=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-kx)$，此时 $y=kx+b$ 为斜渐近线。

2.5 弧微分

弧微分 $\d s=\sqrt{\d x^2+\d y^2}=\sqrt{1+y'^2}\d x$，因此如果用参数方程表示曲线，那么 $\d s=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\d t$。

切线的转角代表 $\Delta \alpha$，平均曲率 $\overline K=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$，当 $\Delta s\to 0$，得到曲率 $K$。

由于 $\alpha = \arctan y'$，因此 $\d \alpha=\d \arctan y'=\d \arctan u=\frac{1}{1+u^2}\d u=\frac{1}{1+y'^2}\d y'=\frac{y''\d x}{1+y'^2}$，于是 $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$。用参数方程表示时，$K=\dfrac{|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$。

设曲线 $y=f(x)$ 在 $M$ 点处的曲率为 $K(K\ne 0)$，过该点作曲线的法线，圆心为 $C$，且 $|MC|=\frac 1 K$，得到曲率圆，圆心为曲率中心。

3. 不定积分

$f(x)$ 在 $I$ 内的全体原函数称为 $f(x)$ 在 $I$ 内的不定积分，记作 $\displaystyle\int f(x)\d x$。也就是说，已知原函数的微分是 $f(x)\d x$，求原函数。

连续函数的原函数一定存在，但不一定是初等函数，比如 $\displaystyle \int \frac{\sin x}{x}$ 就不初等可积。关于是否初等可积的充要条件，非常复杂。对于工科来说，最简单的方式是将积分输到一个求解器里看能否给出答案。

3.1 第一换元法（凑微分法）

如果 $\displaystyle\int g(x)\d x$ 是难求的，但是 $\displaystyle\int f(u)\d u$ 是好求的，我们想办法把 $\d x$ 改写为 $\d u$，这里 $\d u=\varphi'(x)\d x$，$u=\varphi(x)$。相当于复合函数求导的逆运算，目的在于改写 $\d x$，使得微分算子里的东西和外面长得一样来换元。这里要求 $\varphi(x)$ 连续可导。

也就是说找到 $f(x)$ 中的某一部分乘进 $\d x$ 里。

3.2 第二换元法（变量代换法）

直接改写 $x$ 为 $\psi(t)$，也就是将 $\displaystyle\int f(x)\d x$ 改写为 $\displaystyle\int f(\psi(t))\psi'(t)\d t$。具体来说，当 $f(x)$ 在 $I$ 内的原函数存在，$x=\psi(t)$ 要取到 $I$，对应的定义域 $I_t$ 内 $\psi(t)$ 单调连续可导，那么在解出换元的积分后，直接令 $t=\psi^{-1}(x)$ 即可。

1. 含有 $\sqrt{a^2-x^2},a>0$，考虑 $x=a\sin t,a\cos t$；
2. 含有 $\sqrt{x^2+a^2},a>0$，考虑 $x=a\tan t,a\cot t$；
3. 含有 $\sqrt{x^2-a^2},a>0$，考虑 $x=a\sec t,a\csc t$；
4. 根式代换：含有 $\sqrt[n]{ax+b}$，考虑 $t=\sqrt[n]{ax+b}$；
5. 倒代换：被积函数分母最高次数大于分子最高次数时，可尝试 $t=\frac 1 x$；
6. 万能代换：关于 $\sin x,\cos x$ 的有理式，可以令 $t=\tan \frac x 2$。

3.3 分部积分法

设 $u(x),v(x)$ 具有连续的导数 $u'(x),v'(x)$，那么：

$\because \d(uv)=u\d v+v\d u,\\ \therefore \displaystyle \int u\d v=uv - \int v\d u,\\ \therefore \int uv'\d x=uv-\int vu'\d x.$

3.4 积分表

需要背诵的内容：

$\displaystyle 1. \int \tan x\d x = -\ln|\cos x|+C\\ 2. \int \cot x\d x = \ln|\sin x|+C\\ 3. \int \sec x\d x=\ln|\sec x+\tan x|+C\\ 4. \int \csc x\d x=\ln|\csc x-\cot x|+C\\ 5. \int \frac 1{x^2+a^2}\d x=\frac 1 a \arctan \frac x a +C\\ 6. \int \frac 1{x^2-a^2}\d x=\frac 1{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C\\ 7. \int \frac 1{\sqrt{a^2-x^2}}\d x=\arcsin \frac x a +C\\ 8. \int \frac 1{\sqrt{x^2+a^2}}\d x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) +C\\ 9. \int \frac 1{\sqrt{x^2-a^2}}\d x=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| +C$

3.5 例题选解

4. 定积分

定积分表示为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上与 $x$ 轴相交范围的面积，记作 $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\d x$。如果 $a>b$，那么实际上是 swap $a,b$ 之后求定积分再取相反数。

严格意义上来说，就是 $\lim\limits_{||\Delta||\to 0} f(\xi_i)\Delta x_i$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，该极限的值为定积分。注意这里并不要求函数连续。因此，黎曼可积的必要条件是函数有界。

积分中值定理的一种特殊形式：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\exist \xi\in [a,b],\ie \displaystyle\int_{a}^b f(x)\d x=f(\xi)(b-a)$。

4.1 微积分基本定理

积分上限函数 $\Phi(x)=\displaystyle\int_{a}^x f(t)\d t$ 是连续的。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，那么 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $\Phi'(x)=f(x)$。注意在求解积分上限函数时，一定要保证被积函数和上限无关，如果有，一定要转化。

微积分基本定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)$ 为原函数，那么 $\displaystyle\int_a^b f(x)\d x=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b=F(x)|_a^b$。

值得注意的是，在使用第二换元法计算时，不再要求函数单调，假定将 $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\d x$ 换成 $\displaystyle\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\d t$ 时，只需要满足 $a=\varphi(\alpha),b=\varphi(\beta)$，且在 $[\alpha,\beta]$ 上 $\varphi(t)$ 的值域为 $[a,b]$，且连续可导即可。但实际上很难遇到不单调的情况。

点火公式：$I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^n x\d x=\int_{0}^{\pi/2} \cos^n x\d x$，有 $I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}$。