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struct Graph {
struct Edge {
int v; long w;
Edge(int v = 0, long w = 0) : v(v), w(w) {}
};
int S, T, cur[N], d[N];
vector<Edge> edges;
vector<int> G[N];
void addedge(int u, int v, long w) {
edges.emplace_back(v, w);
G[u].emplace_back(edges.size() - 1);
edges.emplace_back(u, 0);
G[v].emplace_back(edges.size() - 1);
}
bool bfs(void) {
memset(d, -1, sizeof d);
queue<int> q; q.push(S); d[S] = 1;
while (!q.empty()) {
const int u = q.front(); q.pop();
for (const int id : G[u]) {
Edge &e = edges[id];
if (e.w && d[e.v] == -1) {
d[e.v] = d[u] + 1; q.push(e.v);
if (e.v == T) return true;
}
}
}
return false;
}
long dinic(int x, long res) {
if (x == T) return res;
long flow = 0;
for (int i = cur[x]; i < (int)G[x].size() && res; ++i) {
cur[x] = i;
Edge &e = edges[G[x][i]];
const long c = min(res, e.w);
if (d[e.v] == d[x] + 1 && c) {
long k = dinic(e.v, c); flow += k; res -= k;
e.w -= k; edges[G[x][i] ^ 1].w += k;
}
}
if (!flow) d[x] = -1;
return flow;
}
long maxFlow(int s, int t) {
S = s, T = t;
long mxf = 0;
while (bfs()) {
memset(cur, 0, sizeof cur);
while (long flow = dinic(S, 1e18)) mxf += flow;
}
return mxf;
}
} G;

图匹配

完美匹配的存在性

Hall 定理:对于二分图 G=(X,Y,E)G=(X,Y,E),存在完美匹配的充要条件是对于任意 WXW\subseteq X,都有 WN(W)|W|\le |N(W)|


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