实变函数

我们回顾一元函数黎曼积分：

一元函数黎曼积分可以这样回顾：

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。取分割 $P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \|P\|=\max_i\Delta x_i$。在每个小区间任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作黎曼和：

$$S(f,P,\xi)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$

若存在实数 $I$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要 $\|P\|<\delta$，任意取点 $\xi_i$，都有 $|S(f,P,\xi)-I|<\varepsilon$，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，记 $I=\displaystyle\int_a^b f(x)\d x$。

这里注意到一个问题，黎曼积分的思想依赖函数“几乎处处连续”，其本质是把函数值利用夹逼定理夹出来，如果这个函数非常不连续（狄利克雷函数等），你就无法找到一个划分，使得这段区间的函数值趋于一个相同的值了。

但是我们为什么一定要用 $\Delta x_i$ 作为底边呢？如果用 $\Delta y_i$ 作为底边，考虑狄利克雷函数，取 $1$ 的定义域是 $\mathbb Q$，我们需要考虑定义域的长度，但是集合的长度是什么？我们需要重新制定一套方法，即“测度”。

1. 集合

2. 点集

3. 测度论

4. 可测函数

5. 积分论

6. 微分与不定积分